mercoledì 23 luglio 2014

Funzioni e proprietà

Ora che abbiamo parlato di Insiemi Numerici (nello scorso articolo abbiamo visto in dettaglio gli insiemi $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}, \mathbb{C}$), possiamo iniziare a vedere come trattare questi insiemi e come farli interagire fra di loro.

Incominciamo dando una definizione molto importante, che gioca un ruolo fondamentale nella matematica, stiamo parlando di una Funzione.



Che cosa è una funzione? Una funzione è un particolare "meccanismo" tale che dato un elemento lo trasfomra in un altro elemento, diverso dal precedente (...non sempre però deve essere diverso assolutamente).

Per esempio, se abbiamo un elemento chiamato "a" e lo diamo alla funzione $f$, questa è in grado di traformare il nostro "a" in "b", quindi con uno schema:

$a \rightarrow f \rightarrow b$

Possiamo vedere la Funzione come una scatola magica dove inserito un oggetto ne tira fuori un altro!
Le funzioni sono molto importanti in matematica, agiscono tra gli insiemi numerici rivelando certe relazioni fra numeri molto belle e interessanti! Fra poco ve ne potremmo dare un assaggio! Ma prima, un po' di teoria...

Occorre dire che le funzioni operano su due insiemi, l'uno è il contenitore "degli oggetti che possono essere inseriti nella scatola magica" (parafrasando la definizione di funzione), l'altro è il contenitore degli oggetti che possono saltar fuori dalla nostra funzione! Quindi il primo è il "carburante" del nostro motore (la funzione) e il secondo è il prodotto che il motore fa con il carburante immesso, mi spiego? Facciamo un esempio:

Se io prendo una funzione $f$ tale che per ogni numero naturale la nostra $f$ associa a quel numero il suo doppio, allora in termini matematici se noi diamo impasto a $f$ la nostra "a", la funzione trasforma "a" in $\rightarrow$ "2a", allo stesso modo se prendo "b" $f$ trasforma "b" nell'elemento "2b" e così via per ogni numero naturale.
Quindi l'insieme degli "oggetti utilizzabili" è l'insieme dei numeri naturali, e l'insieme degli oggetti che possono uscire fuori è anche lui l'insieme dei numeri naturali, ma limitato ai soli numeri pari in questo caso, quindi scrivendo in termini matematici:
$f: \mathbb{N} \rightarrow A$
$f(x) = 2x$

Questa scrittura non è altro che la definizione di $f$, ossia:
$f: \mathbb{N} \rightarrow A$ significa che $f$ è una funzione che prende oggetti in $\mathbb{N}$ e li mette in corrispondenza con degli oggetti in $A$, dove $A$ è un preciso insieme numerico.
$f(x)=2x$ è chiamata "la legge di $f$", ossia stabilisce le regole con cui $f$ deve operare: in questo caso trasforma la $x$ fra parentesi in $2x$, quindi associa a un elemento $x$ il doppio del suo valore ($2x$ appunto).
Quello appena descritto è un modo molto semplice e veloce per definire funzioni, stabilire gli insiemi su cui opera e la sua legge.
L'insieme di partenza è detto Dominio e quello di "arrivo" Codominio. Una funzione prende sempre tutti gli oggetti del Dominio e li collega a degli oggetti che si trovano nel Codominio (non per forza con tutti, alcuni elementi del Codominio possono essere lasciati in pace!)

Altro esempio di Funzione:
Sia $g$ una funzione tale che:
$g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$
$g(x)=x^2$
Quindi G prende tutti gli elementi di $\mathbb{Z}$ e li trasforma in altrettanti elementi di $\mathbb{Z}$, in particolare li trasforma nel loro quadrato. Per esempio, $g(3)=9$, $g(7)=49$, $g(-5)=25$ e così via...Si potrebbe notare però che il quadrato di un numero fa sempre parte solo dei numeri naturali (i quadrati sono sempre positivi e interi! quindi naturali), perciò la funzione $g$ potrebbe essere ridefinita come $g_1:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$
Si noti tuttavia che $g$ e $g_1$ NON sono la stessa funzione...

Passiamo a vedere alcune proprietà delle funzioni, in particolare la "buona definizione", la "iniettività" e la "surgettività".

Buona Definizione:
Una funzione $f$ è ben definita se presi $a=b$ allora $f(a)=f(b)$.
In sostanza, se prendiamo un elemento "a" appartenente al Dominio che è identico all'elemento "b" (anch'esso appartenente al Dominio), allora $f(a)$ deve essere per forza uguale a $f(b)$ perchè se applichiamo la funzione ad "a", non deve cambiare il risultato se la applico a "b", dato che $a=b$. Questo deve essere vero per ogni "a" appartenente al Dominio, infatti la funzione deve esssere definita su tutti gli elementi del suo Dominio (si dice che "f è Totale sul suo dominio"), altrimenti non è una funzione.
Se questo è vero la funzione è Ben Definita (la Buona Definizione insieme alla Totalità, sono requisiti necessari e sufficienti perché esista la funzione!).

Iniettività:
Una funzione $f$ è iniettiva se $f(a)=f(b)$ allora $a=b$.
La condizione di iniettività è vera per qualsiasi $a,b$ presi nel Dominio della funzione.
Una funzione iniettiva ha la caratteristica che per ogni elemento del Dominio, associa uno e un solo elemento del codominio.

E' il momento di un po' di esempi...
Per la buona definizione:
Prendiamo $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ t.c. $f(x)=2x$.
Se noi prendiamo adesso un elemento appartenente a $\mathbb{Z}$ che chiamiamo "a" e vi applichiamo $f$, ottengo l'elemento associato tramite $f$ del codominio uguale a $f(a)=2a$. ($f(a)$ è chiamata anche "immagine di a tramite f")
Adesso prendiamo un altro elemento appartenente sempre al Dominio (dobbiamo prendere solo questi!) che chiamiamo "b" a cui applichiamo nuovamente $f$, otteniamo quindi l'immagine di b tramite $f$ che è uguale a $2b$.
Adesso, se $a=b$, sicuramente anche $2a=2b$, quindi se gli elementi coincidono (se $a=b$) allora anche le loro immagini coincidono ($f(a)=f(b)$), ed eccoci arrivati alla tesi.

Per l'iniettività:
Sia $g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$ definita come $g(a)=a^2$.
Per funzione iniettiva si intende che se $g(a)=g(b)$ allora anche $a=b$, per ogni $a,b$ appartenenti al Dominio.
Proviamo quindi a cercare degli elementi $a,b$ tali che $g(a)$ sia diverso da $g(b)$. Con una funzione simile, è semplice scovarli, si tratta ovviamente dei Naturali e dei loro opposti. Infatti se prendiamo $5$, allora $g(5)=25$, ma $25=g(-5)$, poichè un numero negativo al quadrato diventa positivo! Quindi abbiamo trovato un contro esempio alla definizione di iniettività ,per cui $g$ non è una funzione iniettiva, in quanto:
$g(a)=g(-a)$ ma ciò non implica che la condizione $a=(-a)$ è vera (5 è diverso da -5!).
Un esempio in positivo può essere la funzione $f(x)=2x$ definita da $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{Z}$, ma ce ne sono molti altri.

Surgettività:
Una funzione $h$ è surgettiva se per ogni elemento "b" del Codominio, esiste almeno un elemento "a" nel Dominio tale che $h(a)=b$.
La surgettività impone che la funzione "ricopra" l'intero Codominio, ossia che esistono degli elementi del Dominio che vengono associati a tutti gli elementi del Codominio, nessuno escluso.
Per esempio, sia $h(x)=x$, questa è una particolare funzione chiamata "identità" poiché associa a $x$ sè medesimo. Questa funzione ovviamente è sia iniettiva, sia surgettiva! Poiché se $h:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ allora per ogni elemento $a$ di $\mathbb{Z}$ la funzione ha un elemento "b" di $\mathbb{Z}$ t.c. $h(a)=b$ , e in questo caso è "b" stesso! infatti $h(b)=b$, con la semplice sostituzione $a=b$.

Se la funzione è sia Iniettiva che Surgettiva, allora si dice che la funzione è Bigiettiva.

Un'altra bella proprietà delle funzioni è che esse possono essere visualizzate tramite dei grafici! Per farlo, dovremo usare il Piano Cartesiano , infatti con il sistema di coordinate cartesiane le funzioni possono essere espresse tramite un grafico, e le varie proprietà delle funzioni essere riconosciute tramite l'andamento della funzione in questione, basta porre sull'asse delle x gli elementi appartenenti al Dominio, e sull'asse delle y le immagini degli elementi del Dominio tramite la funzione.

Speriamo vi siamo stati d'aiuto, alla prossima!!

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